\subsection{交错级数}

	\begin{ti}
		已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} n \sqrt{n} \tan \frac{1}{n^{\alpha}}$ 绝对收敛，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{3 - \alpha}}$ 条件收敛，则\kuo.
		
		\twoch{$0 < \alpha \leq \frac{1}{2}$}{$1 < \alpha < \frac{5}{2}$}{$1 < \alpha < 3$}{$\frac{5}{2} < \alpha < 3$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $a_{n} = \cos n \uppi \cdot \ln \Big( 1 + \frac{1}{\sqrt{n}} \Bigr) (n = 1,2,3,\cdots)$，则级数\kuo.

		\onech{$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 都收敛}{$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 都发散}{$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 发散}{$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，且 $0 \leq f(x) \leq 1$，又设 $a_{n} = \int_{0}^{\frac{1}{n}} \sqrt{1 + f^{n}(x)} \dd{x}$，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_{n}$\kuo.

		\onech{发散}{条件收敛}{绝对收敛}{敛散性与具体的 $f(x)$ 有关}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $a > 0$ 为常数，则 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \Bigl( 1 - \cos \frac{a}{n} \Bigr)$\kuo.

		\twoch{绝对收敛}{条件收敛}{发散}{敛散性与 $a$ 有关}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \ln \Bigl( 1 + \frac{1}{n} \Bigr)$\kuo.

		\twoch{收敛}{发散}{条件收敛}{绝对收敛}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \bigl( \uppi \sqrt{n^{2} + a^{2}} \bigr)$ 的敛散性.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		判别级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \ln \Bigl[ 1 + \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} \Bigr]$ 的敛散性.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		判别级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n} + (-1)^{n}}$ 的敛散性.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		证明：级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n + (-1)^{n}}}$ 条件收敛.
	\end{ti}